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16. Mai 2023

Harol Bustos für Quanta Magazine

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16. Mai 2023

Im Jahr 2009 gaben zwei Astronomen am Pariser Observatorium eine überraschende Entdeckung bekannt. Nachdem sie ein detailliertes Computermodell unseres Sonnensystems erstellt hatten, führten sie Tausende numerischer Simulationen durch und projizierten die Bewegungen der Planeten Milliarden von Jahren in die Zukunft. In den meisten dieser Simulationen, bei denen der Startpunkt des Merkur über einen Bereich von knapp einem Meter variiert wurde, verlief alles wie erwartet. Die Planeten kreisten weiterhin um die Sonne und bildeten dabei ellipsenförmige Umlaufbahnen, die mehr oder weniger so aussahen wie im Laufe der Menschheitsgeschichte.

Aber in etwa 1 % der Fälle ging es schief – im wahrsten Sinne des Wortes. Die Form der Merkurbahn veränderte sich erheblich. Seine elliptische Flugbahn flachte allmählich ab, bis der Planet entweder in die Sonne stürzte oder mit der Venus kollidierte. Manchmal destabilisierte sein Verhalten auf seinem neuen Weg durch den Weltraum auch andere Planeten: Der Mars beispielsweise wurde aus dem Sonnensystem geschleudert oder er stürzte auf die Erde. Venus und Erde könnten in einem langsamen, kosmischen Tanz mehrmals ihre Umlaufbahnen wechseln, bevor sie schließlich kollidieren.

Vielleicht war das Sonnensystem nicht so stabil, wie die Menschen einst dachten.

Seit Jahrhunderten, seit Isaac Newton seine Bewegungs- und Schwerkraftgesetze formulierte, beschäftigen sich Mathematiker und Astronomen mit dieser Frage. Im einfachsten Modell des Sonnensystems, das nur die von der Sonne ausgeübten Gravitationskräfte berücksichtigt, folgen die Planeten bis in alle Ewigkeit ihren elliptischen Bahnen wie ein Uhrwerk. „Es ist irgendwie ein beruhigendes Bild“, sagte Richard Moeckel, Mathematiker an der University of Minnesota. „Es wird ewig so weitergehen und wir werden längst weg sein, aber Jupiter wird immer noch umhergehen.“

Aber sobald man die Anziehungskraft zwischen den Planeten selbst berücksichtigt, wird alles komplizierter. Man kann die Positionen und Geschwindigkeiten der Planeten über lange Zeiträume nicht mehr explizit berechnen und muss stattdessen qualitative Fragen zu ihrem möglichen Verhalten stellen. Könnten sich die Auswirkungen der gegenseitigen Anziehung der Planeten verstärken und das Uhrwerk zerstören?

Detaillierte numerische Simulationen, wie sie 2009 von Jacques Laskar und Mickaël Gastineau vom Pariser Observatorium veröffentlicht wurden, legen nahe, dass eine kleine, aber reale Chance besteht, dass die Dinge durcheinander geraten. Aber diese Simulationen sind zwar wichtig, aber nicht dasselbe wie ein mathematischer Beweis. Sie können nicht völlig präzise sein, und wie die Simulationen selbst zeigen, kann eine kleine Ungenauigkeit im Laufe von Milliarden simulierter Jahre zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen. Darüber hinaus liefern sie keine zugrunde liegende Erklärung dafür, warum bestimmte Ereignisse eintreten könnten. „Man möchte verstehen, welche mathematischen Mechanismen Instabilitäten auslösen, und beweisen, dass sie tatsächlich existieren“, sagte Marcel Guàrdia, Mathematiker an der Universität Barcelona.

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Die Mathematiker Marcel Guàrdia (links) und Jacques Fejoz arbeiten seit Jahren zusammen, um einen Beweis dafür zu erbringen, dass es in einem Modell-Sonnensystem zu Instabilität kommen kann.

Jessica Massetti

Nun haben Guàrdia und zwei Mitarbeiter in drei Arbeiten, die zusammen mehr als 150 Seiten umfassen, zum ersten Mal bewiesen, dass in einem Modell von Planeten, die eine Sonne umkreisen, unweigerlich Instabilität auftritt.

„Das Ergebnis ist wirklich sehr spektakulär“, sagte Gabriella Pinzari, mathematische Physikerin an der Universität Padua in Italien. „Die Autoren haben einen Satz bewiesen, der einer der schönsten Sätze ist, die man beweisen kann.“ Es könnte auch helfen zu erklären, warum unser Sonnensystem so aussieht, wie es aussieht.

Schon vor Jahrhunderten war klar, dass Wechselwirkungen zwischen den Planeten langfristige Auswirkungen haben könnten. Betrachten Sie Merkur. Die Umrundung der Sonne auf einer Ellipsenbahn dauert etwa drei Monate. Aber dieser Pfad dreht sich auch langsam – ein Grad alle 600 Jahre, eine volle Drehung alle 200.000. Diese als Präzession bekannte Art der Rotation ist größtenteils darauf zurückzuführen, dass Venus, Erde und Jupiter Merkur anziehen.

Aber Forschungen von mathematischen Giganten wie Pierre-Simon Laplace und Joseph-Louis Lagrange im 18. Jahrhundert zeigten, dass Größe und Form der Ellipse unabhängig von der Präzession stabil sind. Erst im späten 19. Jahrhundert begann sich diese Intuition zu ändern, als Henri Poincaré herausfand, dass es selbst in einem Modell mit nur drei Körpern (z. B. einem Stern, der von zwei Planeten umkreist wird) unmöglich ist, exakte Lösungen für Newtons Gleichungen zu berechnen. „Himmelsmechanik ist eine heikle Sache“, sagte Rafael de la Llave, Mathematiker am Georgia Institute of Technology. Ändern Sie die Anfangsbedingungen um Haaresbreite – zum Beispiel indem Sie die angenommene Position eines Planeten um nur einen Meter verschieben, wie es Laskar und Gastineau in ihren Simulationen getan haben –, kann das System über lange Zeiträume hinweg ganz anders aussehen.

Poincaré fand im Drei-Körper-Problem ein Gewirr möglicher Verhaltensweisen, das so kompliziert war, dass er zunächst dachte, er hätte einen Fehler gemacht. Nachdem er die Wahrheit seiner Ergebnisse akzeptiert hatte, war es nicht mehr möglich, die Stabilität des Sonnensystems als selbstverständlich anzusehen. Da die Arbeit mit Newtons Gleichungen jedoch so schwierig ist, war nicht klar, ob das Verhalten des Sonnensystems möglicherweise nur im kleinen Maßstab kompliziert und chaotisch ist – Planeten könnten beispielsweise innerhalb eines vorhersehbaren Bandes an verschiedenen Positionen landen – oder ob Wie Guàrdia und seine Mitarbeiter schließlich in ihrem eigenen Modell beweisen würden, könnten sich Größe und Form der Umlaufbahnen so stark ändern, dass Planeten möglicherweise ineinander stoßen oder in die Unendlichkeit fliegen könnten.

Dann, im Jahr 1964, verfasste der Mathematiker Vladimir Arnold eine vierseitige Arbeit, in der er die richtige Sprache für die Formulierung des Problems festlegte. Er fand einen bestimmten Grund, warum sich Schlüsselvariablen in einem dynamischen System stark ändern können. Zunächst erfand er ein künstliches Beispiel, eine seltsame Mischung aus einem Pendel und einem Rotor, die nicht im Entferntesten etwas ähnelte, was man in der Natur antreffen würde. In diesem Spielzeugmodell bewies er, dass sich bestimmte Größen, die normalerweise konstant bleiben, mit genügend Zeit stark verändern können.

Arnold vermutete dann, dass die meisten dynamischen Systeme diese Art von Instabilität aufweisen sollten. Im Fall des Sonnensystems könnte dies bedeuten, dass sich die Umlaufbahnen oder Exzentrizitäten bestimmter Planeten möglicherweise über Milliarden von Jahren verschieben könnten.

Aber während Mathematiker und Physiker schließlich große Fortschritte beim Nachweis machten, dass Instabilität im Allgemeinen entsteht, hatten sie Mühe, dies für Himmelsmodelle zu zeigen. Das liegt daran, dass die Gravitationswirkung der Sonne so überwältigend stark ist, dass viele Merkmale des Uhrwerk-Planetenmodells bestehen bleiben, selbst wenn man die zusätzlichen Kräfte berücksichtigt, die von den Planeten ausgeübt werden. (In diesem Zusammenhang liefert die Newtonsche Mechanik eine so gute Annäherung an die Realität, dass diese Modelle die Auswirkungen der allgemeinen Relativitätstheorie nicht berücksichtigen müssen.) Eine solche inhärente Stabilität macht es schwierig, Instabilität zu erkennen.

Könnten sich Parameter, die in Berechnungen von Laplace, Lagrange und anderen so stabil blieben, wirklich erheblich ändern? „Man muss mit einer extrem schwachen Instabilität umgehen“, sagte Laurent Niederman von der Universität Paris-Saclay. Mit den üblichen Methoden wird es nicht erkannt.

Numerische Simulationen gaben Anlass zur Hoffnung, dass die Suche nach einem solchen Beweis nicht umsonst war. Und es gab vorläufige Beweise. Im Jahr 2016 haben de la Llave und zwei Kollegen beispielsweise Instabilität in einem vereinfachten Modell der Himmelsmechanik nachgewiesen, das aus einer Sonne, einem Planeten und einem Kometen besteht, wobei angenommen wurde, dass der Komet keine Masse und daher keine Gravitationswirkung auf den Planeten hat. Dieser Aufbau wird als „eingeschränktes“ N-Körper-Problem bezeichnet.

Die neuen Arbeiten befassen sich mit einem echten N-Körper-Problem und zeigen, dass Instabilität in einem Planetensystem auftritt, in dem drei kleine Körper um eine viel größere Sonne kreisen. Auch wenn Größe und Form der Umlaufbahnen möglicherweise lange Zeit um feste Werte schwanken, werden sie sich irgendwann dramatisch ändern.

Dies war erwartet worden – es wurde allgemein angenommen, dass in dieser Art von Modell Stabilität und Instabilität nebeneinander existieren –, aber die Mathematiker waren die ersten, die es bewiesen haben.

Zusammen mit Jacques Fejoz von der Universität Paris-Dauphine versuchte Guàrdia 2016 erstmals, die Instabilität des Dreikörperproblems (eine Sonne, zwei Planeten) nachzuweisen. Sie konnten zwar zeigen, dass chaotische Dynamiken im Sinne von Poincaré entstanden, sie konnte nicht beweisen, dass dieses chaotische Verhalten großen und langfristigen Veränderungen entsprach.

Andrew Clarke, ein Postdoktorand bei Guàrdia, schloss sich ihnen im September 2020 an und sie beschlossen, das Problem noch einmal zu versuchen und dieses Mal einen zusätzlichen Planeten in die Mischung aufzunehmen. In ihrem Modell kreisen drei Planeten in immer größeren Abständen voneinander um eine Sonne. Entscheidend ist, dass der innerste Planet zu Beginn eine deutliche Neigung zum zweiten und dritten Planeten aufweist, sodass seine Umlaufbahn praktisch einen rechten Winkel zu deren Umlaufbahn bildet.

Diese Neigung ermöglichte es den Mathematikern, Anfangsbedingungen zu finden, die zu Instabilität führen.

Sie zeigten die Existenz von Flugbahnen, die zu nahezu jeder möglichen Exzentrizität des zweiten Planeten führten: Mit der Zeit konnte sich seine Ellipse abflachen, bis sie fast wie eine gerade Linie aussah. In der Zwischenzeit könnten auch die Umlaufbahnen des zweiten und dritten Planeten, die ursprünglich in derselben Ebene lagen, am Ende senkrecht zueinander stehen. Der zweite Planet konnte sich sogar um volle 180 Grad drehen, sodass sich zunächst alle Planeten im Uhrzeigersinn um die Sonne bewegten, der zweite Planet sich jedoch schließlich gegen den Uhrzeigersinn bewegte. „Stellen Sie sich vor, Sie blicken eine Million Jahre in die Zukunft und der Mars geht in die entgegengesetzte Richtung“, sagte Richard Montgomery von der University of California in Santa Cruz. "Das wäre verrückt."

„Selbst in dieser einfachen Umgebung kann man sehr wilde Umlaufbahnen nicht vermeiden“, sagte Niederman.

Trotzdem blieb die Größe der Umlaufbahnen stabil. Das liegt daran, dass sich die Planeten in diesem Modell sehr schnell um die Sonne bewegen, verglichen mit der Zeit, die für die Präzession ihrer Umlaufbahnen benötigt wird – was es den Mathematikern ermöglicht, die „schnellen“ Variablen im Zusammenhang mit den Bewegungen der Planeten zu beschönigen. „Es ist mühsam, jedes Jahr darüber nachzudenken, was passiert, wenn man sich wirklich für das interessiert, was über tausend Jahre hinweg passiert“, sagte Moeckel. Schwankungen in der Größe jeder Ellipse (gemessen an ihrem langen Radius oder ihrer großen Halbachse) mitteln sich.

Das war nicht überraschend. „Allgemeines Wissen besagt, dass die Neigung und die Exzentrizität instabiler sein sollten als die große Halbachse“, sagte Guàrdia. Doch dann erkannten er und seine Kollegen, dass sie ihr Modell möglicherweise noch instabiler machen könnten, wenn sie den dritten Planeten noch weiter von der Sonne entfernt platzieren würden.

Dieses neue System und die ihm zugrunde liegenden Gleichungen waren komplizierter und die Mathematiker waren sich nicht sicher, ob sie zu Ergebnissen kommen würden. Aber „es war zu viel, um es zu ignorieren“, sagte Clarke. „Wenn es eine Möglichkeit gäbe, dass Halbhauptachsen driften könnten, dann muss man dem nachgehen.“

Laskar, der einen Großteil der numerischen Arbeiten zur Instabilität im Sonnensystem geleitet hat, sagte, wenn man diese Art von Sonnensystem mit unserem eigenen überlagern würde, könnte man den ersten Planeten sehen, der direkt an der Sonne liegt, den zweiten Planeten, wo die Erde wäre sein, und der dritte Planet ganz draußen in der Oortschen Wolke, an den äußeren Grenzen unseres Sonnensystems. (Infolgedessen, fügte er hinzu, stelle dies eine „sehr extreme Situation“ dar – eine, mit der er nicht unbedingt in unserer eigenen Galaxie rechnet.)

Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto länger dauert eine Umrundung. In diesem Fall ist der dritte Planet so weit entfernt, dass die Präzession der beiden inneren Planeten schneller erfolgt. Es ist nicht mehr möglich, die Bewegung des letzten Planeten zu mitteln – ein Szenario, das Lagrange und Laplace in ihren Berichten über die Stabilität des Sonnensystems nicht berücksichtigt haben. „Dies wird die Struktur der Gleichung völlig verändern“, sagte Alain Chenciner, Mathematiker ebenfalls am Pariser Observatorium. Es gab jetzt mehr Variablen, über die man sich Sorgen machen musste.

Clarke, Fejoz und Guàrdia haben bewiesen, dass die Umlaufbahnen beliebig groß werden können. „Sie erreichen endlich, dass die Größe der Umlaufbahn zunimmt und nicht nur die Form oder so etwas in der Art“, sagte Moeckel. „Das ist die ultimative Instabilität.“

Obwohl sich diese Veränderungen sehr langsam anhäuften, vollzogen sie sich dennoch schneller, als man hätte erwarten können – was darauf hindeutet, dass sich Veränderungen in einem realistischen Planetensystem über Hunderte von Millionen Jahren anhäufen könnten, statt über Milliarden.

Im Jahr 2009 entdeckte die mathematische Physikerin Gabriella Pinzari unabhängig ein kompliziertes Koordinatensystem wieder, das jahrzehntelang in Vergessenheit geraten war, und ermöglichte neue Arbeiten zur Planeteninstabilität.

Fakultät für Mathematik der Universität Padua

Die Ergebnisse liefern eine mögliche Erklärung dafür, warum die Umlaufbahnen der Planeten in unserem Sonnensystem alle nahezu in derselben Ebene liegen. Es zeigt, dass so etwas Einfaches wie ein großer Neigungswinkel in mehrfacher Hinsicht zu großer Instabilität führen kann. „Wenn man mit einer Situation beginnt, in der die gegenseitigen Neigungen ziemlich groß sind, dann wird man das System ziemlich schnell zerstören“, sagte Chenciner. „Es wäre vor Hunderten, Tausenden von Jahrhunderten zerstört worden.“

Diese Beweise erforderten eine geschickte Kombination von Techniken aus Geometrie, Analyse und Dynamik – und eine Rückkehr zu grundlegenden Definitionen.

Die Mathematiker stellten jede Konfiguration ihres Planetensystems (die Positionen und Geschwindigkeiten der Planeten) als einen Punkt in einem hochdimensionalen Raum dar. Ihr Ziel war es, die Existenz von „Autobahnen“ durch den Raum zu zeigen, die beispielsweise großen Veränderungen in der Exzentrizität des zweiten Planeten oder in der großen Halbachse des dritten Planeten entsprechen.

Dazu mussten sie zunächst jeden Punkt in Koordinaten ausdrücken, die so esoterisch und komplex waren, dass kaum jemand jemals von ihnen gehört, geschweige denn versucht hatte, sie zu verwenden. (Die Koordinaten wurden Anfang der 1980er Jahre vom belgischen Astronomen André Deprit entdeckt, dann vergessen und später unabhängig von Pinzari im Jahr 2009 während ihrer Doktorarbeit entdeckt. Seitdem wurden sie kaum noch verwendet.)

Durch die Verwendung der Deprit-Koordinaten zur Beschreibung ihres hochdimensionalen Raums der Planetenkonfigurationen erlangten die Mathematiker ein tieferes Verständnis seiner Struktur. „Das ist das Schöne am Beweis: es zu schaffen, mit dieser 18-dimensionalen Geometrie umzugehen“, sagte Fejoz.

Fejoz, Clarke und Guàrdia fanden Autobahnen, die mehrere Sonderregionen in diesem Raum durchquerten. Anschließend nutzten sie ihr neu gewonnenes geometrisches Verständnis, um zu beweisen, dass die Autobahnen mit instabilen Dynamiken in der Größe und Form der Planetenbahnen korrespondierten.

„Als ich vor 30 Jahren meine Doktorarbeit abschloss“, sagte Niederman, „waren wir extrem, extrem weit von solchen Ergebnissen entfernt.“

„Es ist ein so kompliziertes System, dass man das Gefühl hat, dass alles passieren sollte, was nicht offensichtlich verboten ist“, sagte Chenciner. „Aber es ist normalerweise sehr schwer, es zu beweisen.“

Mathematiker hoffen nun, die Techniken von Clarke, Fejoz und Guàrdia nutzen zu können, um Instabilität in Modellen nachzuweisen, die eher unserem eigenen Sonnensystem ähneln. Solche Ergebnisse gewinnen besonders an Bedeutung, da Astronomen immer mehr Exoplaneten entdecken, die andere Sterne umkreisen und ein breites Spektrum an Konfigurationen aufweisen. „Es ist wie ein offenes Labor“, sagte Marian Gidea, Mathematiker an der Yeshiva University. „Auf dem Papier zu verstehen, welche Arten von Entwicklungen von Planetensystemen stattfinden können, und dies mit dem zu vergleichen, was man beobachten kann – das ist sehr aufregend. Es gibt viele Informationen über die Physik unseres Universums und darüber, wie viel davon Dies kann unsere Mathematik durch relativ einfache Modelle erfassen.“

In der Hoffnung, einen solchen Vergleich anzustellen, hat Fejoz mit einigen Astronomen über die Identifizierung extrasolarer Systeme gesprochen, die dem von ihm und seinen Kollegen entwickelten Modell auch nur annähernd ähneln. Andere Forscher, darunter Gidea, sagen, dass die Arbeit nützlich sein könnte, um effiziente Flugbahnen für künstliche Satelliten zu entwerfen oder herauszufinden, wie man Teilchen mit hoher Geschwindigkeit durch einen Teilchenbeschleuniger bewegt. Wie Pinzari sagte: „Die Forschung in der Himmelsmechanik ist immer noch sehr lebendig.“

Das ultimative Ziel wäre der Nachweis der Instabilität unseres eigenen Sonnensystems. „Ich wache mitten in der Nacht auf und denke darüber nach“, sagte Clarke. „Ich würde sagen, das wäre der wahre Traum, aber es wäre ein Albtraum, nicht wahr? Denn wir wären am Arsch.“

Korrektur: 16. Mai 2023Dieser Artikel wurde überarbeitet, um zu berücksichtigen, dass Marcel Guàrdia Professor an der Universität Barcelona ist. Im Sommer 2022 wechselte er von der Polytechnischen Universität Katalonien.

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